Christoph Ableitinger

In mathematics, counterexamples play a central role in sharpening conjectures and refuting false statements. At the same time, there is an educational dimension, for example, when counterexamples are used to stimulate processes of conceptual change in secondary students. In practice, the answer to the question of whether a specific counterexample will succeed in convincing students of the incorrectness of a statement or the inadequacy of an idea will depend on a variety of factors. We collected criteria which can be used to compare counterexamples in educational settings through an analysis of existing literature, to which we added further, original criteria. In an empirical part, we investigated which criteria preservice teachers (PSTs) would use to compare counterexamples, and whether and how they could make use of criteria introduced by us. We found that across the PST discussions, all previously identified criteria prompted fruitful reflections upon counterexamples, and that comparing counterexamples in this way naturally led to in-depth discussions of the subject matter side of teaching decisions. PSTs discussed multiple criteria which we had not considered, seeming especially interested in context- and learner-dependent aspects of teaching. Thinking in terms of criteria showed potential as a theoretical lens, and for teacher training.

در ریاضیات، مثال‌های نقض نقش محوری در دقیق‌تر کردن حدسیات و رد گزاره‌های نادرست ایفا می‌کنند. همزمان، این موضوع بعد آموزشی نیز دارد؛ برای مثال، زمانی که از مثال‌های نقض برای تحریک فرایندهای تغییر مفهومی در دانش‌آموزان متوسطه استفاده می‌شود. در عمل، پاسخ به این پرسش که آیا یک مثال نقض خاص می‌تواند دانش‌آموزان را به نادرستی یک گزاره یا ناکافی بودن یک ایده قانع کند، به عوامل متعددی بستگی دارد. ما معیارهایی را که می‌توان برای مقایسه مثال‌های نقض در محیط‌های آموزشی به کار برد، از طریق تحلیل ادبیات موجود گردآوری کردیم و معیارهای اصیل دیگری نیز به آن افزودیم. در بخش تجربی، بررسی کردیم که معلمان پیش‌خدمت (PSTs) از چه معیارهایی برای مقایسه مثال‌های نقض استفاده می‌کنند و آیا و چگونه می‌توانند از معیارهای معرفی‌شده توسط ما بهره ببرند. دریافتیم که در سراسر بحث‌های PST، همه معیارهای شناسایی‌شده قبلی موجب تأملات ثمربخش درباره مثال‌های نقض شدند و مقایسه مثال‌های نقض به این شیوه، به طور طبیعی به بحث‌های عمیق درباره جنبه موضوعی تصمیمات آموزشی انجامید. PSTها معیارهای متعددی را که ما در نظر نگرفته بودیم، مورد بحث قرار دادند و به نظر می‌رسید به جنبه‌های وابسته به زمینه و یادگیرنده در آموزش علاقه ویژه‌ای دارند. اندیشیدن بر اساس معیارها، پتانسیل قابل توجهی به عنوان یک عدسی نظری و برای آموزش معلمان نشان داد.