Mathematical problem

The article substantiates the potential and pedagogical conditions for using loose parts to develop mathematical competence in preschool and primary school children. Loose parts are defined as natural, household, manufactured, or recycled materials with which children can engage in a variety of practical activities, including those involving mathematical content. These may include stones, sand, water, branches, leaves, seeds, shells, pieces of fabric, threads, cardboard boxes, bottle caps, containers, sticks, and other materials. It has been established that, at preschool age, the use of loose parts provides a sensory basis for developing concepts of quantity, number, shape, size, space, and patterns. In primary school, in addition to deepening this knowledge, the same materials can be used to support modeling, solving problems in several ways, testing assumptions, justifying strategies, and working with data. This enables continuity between preschool and primary education in the development of children’s mathematical competence. The potential of loose parts for developing mathematical competence in preschool and primary school children lies in the fact that they enable the practical acquisition of concepts related to number, shape, size, spatial relationships, and patterns, while stimulating the development of skills in counting, comparing, classifying, measuring, modeling, and problem-solving. Their use encourages learners’ independence, investigative activity, and the development of mathematical language. The following pedagogical conditions for using loose parts to develop mathematical competence in preschool and primary school children have been identified: ensuring the purposeful selection and diversification of materials; combining support for children’s initiative with the implementation of pedagogical intentions; and organizing mathematical reflection among preschool and primary school learners.

Technological Pedagogical Content Knowledge (TPACK) is essential for effective technology integration in mathematics teaching. Despite the recognised importance of TPACK, initial teacher education (ITE) programmes consistently struggle to equip pre-service teachers (PSTs) with the knowledge necessary for this complex task, highlighting a critical gap in ITE programmes' preparedness. Through mixed-methods analysis of problem-solving logbooks and focus group interviews with 35 fourth-year PSTs at a Norwegian university, this study investigates how PSTs reflect on technology use in mathematical problem solving, and how these reflections reveal aspects of their TPACK, including the opportunities and challenges they perceive for integrating digital tools into their future teaching. Furthermore, this study identifies the opportunities and challenges they encounter when integrating technology into mathematical problem solving. The findings reveal that PSTs highlight technological knowledge as a foundational element of TPACK. They also highlight technological pedagogical knowledge and technological content knowledge for improving understanding of mathematical concepts through technology. However, the challenges they encountered, such as lack of experience, insufficient knowledge, limited motivation and poor access to reliable digital tools, show the need for ITE programmes to adopt more structured and comprehensive approaches to technology integration, aimed at enhancing PSTs' ability to incorporate technology into mathematics teaching effectively.

دانش محتوایی فناورانه-آموزشی (TPACK) برای ادغام مؤثر فناوری در آموزش ریاضیات ضروری است. با وجود اهمیت شناخته‌شده TPACK، برنامه‌های آموزش معلم اولیه (ITE) همواره در تجهیز معلمان پیش‌خدمت (PSTs) به دانش لازم برای این وظیفه پیچیده با مشکل مواجه هستند و این امر نشان‌دهنده یک شکاف اساسی در آمادگی برنامه‌های ITE است. این پژوهش با استفاده از تحلیل روش‌های ترکیبی بر دفترچه‌های حل مسئله و مصاحبه‌های گروهی متمرکز با ۳۵ معلم پیش‌خدمت سال چهارم در یک دانشگاه نروژی، بررسی می‌کند که چگونه PSTs درباره استفاده از فناوری در حل مسائل ریاضی تأمل می‌کنند و این تأملات چگونه جنبه‌هایی از TPACK آن‌ها را آشکار می‌سازد، از جمله فرصت‌ها و چالش‌هایی که برای ادغام ابزارهای دیجیتال در آموزش آینده خود درک می‌کنند. افزون بر این، این مطالعه فرصت‌ها و چالش‌هایی را که آن‌ها هنگام ادغام فناوری در حل مسائل ریاضی با آن مواجه می‌شوند، شناسایی می‌کند. یافته‌ها نشان می‌دهد که PSTs دانش فناورانه را به عنوان عنصر بنیادی TPACK برجسته می‌کنند. آن‌ها همچنین دانش فناورانه-آموزشی و دانش فناورانه-محتوایی را برای بهبود درک مفاهیم ریاضی از طریق فناوری مورد تأکید قرار می‌دهند. با این حال، چالش‌هایی که با آن مواجه شدند، مانند کمبود تجربه، دانش ناکافی، انگیزه محدود و دسترسی ضعیف به ابزارهای دیجیتال قابل اعتماد، نشان‌دهنده نیاز برنامه‌های ITE به اتخاذ رویکردهای ساختاریافته‌تر و جامع‌تر برای ادغام فناوری است تا توانایی PSTs را در ادغام مؤثر فناوری در آموزش ریاضیات ارتقا دهد.

In Ireland and internationally, problem-solving is central to post-primary mathematics curricula. Enacting problem-solving in the classroom is challenging: it requires teachers to select or create problems appropriate to their students and the intended (mathematical thinking) learning outcomes. Despite the centrality of problem-solving in curricula in Ireland, post-primary students score higher in procedural tasks than problem-solving in the international assessments. Coinciding with this, in Ireland there is a reliance on textbooks with many tasks requiring low levels of cognitive demands. Combining these findings, there is an onus on teachers to be able to pose mathematical problems to expose students to problem-solving opportunities. This study investigates the problem posing capacities of two cohorts of pre-service post-primary mathematics teachers (PSMTs) in an Irish university. The participants were undertaking a module focused on mathematical problem-solving, with a focus on its teaching. PSMTs undertook activities in which they constructed new problems, constructed extension tasks to problems they had worked on themselves, and reformulated other mathematical tasks as problems. Each task generated by the PSMTs was classified against meeting the criteria of being a mathematical problem. Those which did not (non-problem tasks) were categorised using an inductive approach. Findings show that the pre-service teachers found it challenging to pose problems with the majority of tasks classified as unsolvable or procedural. The analysis revealed gaps in the PSMTs’ mathematical content knowledge and their capacity for writing mathematics. The findings suggest that PSMTs’ capacities in posing mathematical problems needs to be developed to enhance learners’ experiences of problem-solving in post-primary classrooms.

در ایرلند و در سطح بین‌المللی، حل مسئله محور اصلی برنامه‌های درسی ریاضی دوره متوسطه است. اجرای حل مسئله در کلاس درس چالش‌برانگیز است؛ زیرا معلمان باید مسائلی متناسب با دانش‌آموزان و اهداف یادگیری (تفکر ریاضی) مورد نظر انتخاب یا ایجاد کنند. با وجود اهمیت حل مسئله در برنامه‌های درسی ایرلند، دانش‌آموزان دوره متوسطه در ارزیابی‌های بین‌المللی در وظایف رویه‌ای نمرات بالاتری نسبت به حل مسئله کسب می‌کنند. همزمان با این موضوع، در ایرلند اتکای زیادی به کتاب‌های درسی وجود دارد که بسیاری از وظایف آن‌ها نیازمند سطوح پایین تقاضاهای شناختی است. با ترکیب این یافته‌ها، مسئولیت معلمان است که بتوانند مسائل ریاضی را مطرح کنند تا فرصت‌هایی برای حل مسئله در اختیار دانش‌آموزان قرار دهند. این مطالعه به بررسی توانایی‌های مسئله‌سازی دو گروه از معلمان ریاضی پیش‌خدمت دوره متوسطه (PSMTs) در یک دانشگاه ایرلندی می‌پردازد. شرکت‌کنندگان در حال گذراندن یک واحد درسی با محوریت حل مسئله ریاضی و تمرکز بر آموزش آن بودند. معلمان پیش‌خدمت در فعالیت‌هایی شرکت کردند که در آن‌ها مسائل جدیدی ساختند، وظایف گسترش‌یافته‌ای برای مسائلی که خودشان روی آن‌ها کار کرده بودند ایجاد کردند و سایر وظایف ریاضی را به صورت مسئله بازنویسی کردند. هر وظیفه‌ای که توسط معلمان پیش‌خدمت تولید شد، بر اساس معیارهای یک مسئله ریاضی طبقه‌بندی شد. وظایفی که این معیارها را نداشتند (وظایف غیرمسئله‌ای) با رویکرد استقرایی دسته‌بندی شدند. یافته‌ها نشان می‌دهد که معلمان پیش‌خدمت در مسئله‌سازی با چالش مواجه بودند و اکثریت وظایف به عنوان غیرقابل حل یا رویه‌ای طبقه‌بندی شدند. تحلیل‌ها شکاف‌هایی را در دانش محتوایی ریاضی و توانایی نگارش ریاضی معلمان پیش‌خدمت آشکار ساخت. یافته‌ها نشان می‌دهد که توانایی‌های معلمان پیش‌خدمت در مسئله‌سازی ریاضی نیازمند توسعه است تا تجربه‌های یادگیرندگان در حل مسئله در کلاس‌های دوره متوسطه بهبود یابد.

Developing students’ capacity for mathematical reasoning and communication is a central goal of contemporary mathematics education, yet qualitative evidence on how these competencies are externalized during problem solving remains limited. This study investigates how students’ mathematical reasoning, use of representations, and modes of engagement differ in the ways 19 they become visible during problem solving, even when solutions are mathematically correct. Adopting a qualitative comparative case study design, three secondary school students exhibiting contrasting modes of engagement were examined while solving a non-routine algebraic problem designed to elicit representational transitions and justification. Data were drawn from written solution artefacts and follow-up semi-structured, artifact-based interviews. Thematic analysis focused on reasoning documentation, representational coordination, and forms of mathematical communication, emphasizing processes of externalization rather than evaluative correctness. Although all students produced correct solutions, their reasoning became visible in markedly different ways: one case demonstrated systematic written documentation and coordinated use of representations, another relied primarily on verbal explanation with limited written elaboration, and a third engaged in exploratory trial-and-error with minimal explicit justification. Rather than treating individual differences as fixed traits, these cases illuminate distinct pathways through which reasoning is externalized or remains partially concealed. The study contributes an analytic lens for examining the visibility of mathematical reasoning and offers implications for instructional practices that foreground explanation and representation in heterogeneous mathematics classrooms.

توسعه ظرفیت دانش‌آموزان برای استدلال و ارتباط ریاضی یکی از اهداف محوری آموزش ریاضی معاصر است، اما شواهد کیفی درباره چگونگی برون‌سازی این شایستگی‌ها در حین حل مسئله همچنان محدود است. این پژوهش بررسی می‌کند که چگونه استدلال ریاضی دانش‌آموزان، استفاده از بازنمایی‌ها و شیوه‌های درگیری آن‌ها در نحوه آشکار شدن طی حل مسئله متفاوت است، حتی زمانی که راه‌حل‌ها از نظر ریاضی صحیح باشند. با اتخاذ طرح مطالعه موردی مقایسه‌ای کیفی، سه دانش‌آموز دبیرستانی با شیوه‌های درگیری متضاد، در حین حل یک مسئله جبری غیرروتین که با هدف برانگیختن گذارهای بازنمایی و توجیه طراحی شده بود، مورد بررسی قرار گرفتند. داده‌ها از مصنوعات نوشتاری راه‌حل و مصاحبه‌های نیمه‌ساختاریافته مبتنی بر مصنوعات گردآوری شد. تحلیل تماتیک بر مستندسازی استدلال، هماهنگی بازنمایی‌ها و اشکال ارتباط ریاضی متمرکز بود و بر فرایندهای برون‌سازی به جای صحت ارزشیابانه تأکید داشت. اگرچه همه دانش‌آموزان راه‌حل‌های صحیح ارائه کردند، اما استدلال آن‌ها به شیوه‌های کاملاً متفاوتی آشکار شد: یک مورد مستندسازی نظام‌مند نوشتاری و استفاده هماهنگ از بازنمایی‌ها را نشان داد، دیگری عمدتاً به توضیح شفاهی با بسط نوشتاری محدود متکی بود و سومی با رویکرد آزمون و خطای اکتشافی و حداقل توجیه صریح درگیر شد. به جای تلقی تفاوت‌های فردی به عنوان ویژگی‌های ثابت، این موارد مسیرهای متمایزی را که استدلال از طریق آن‌ها برون‌سازی یا تا حدی پنهان می‌ماند، روشن می‌کند. این پژوهش یک لنز تحلیلی برای بررسی آشکار بودن استدلال ریاضی ارائه می‌دهد و دلالت‌هایی برای شیوه‌های آموزشی که بر توضیح و بازنمایی در کلاس‌های ریاضی ناهمگن تأکید دارند، مطرح می‌کند.

This qualitative case study explored how field dependence-independence shaped students’ access to Action-Process-Object-Schema (APOS)-based scaffolding and how stage-specific support contributed to the qualitative development of advanced mathematical thinking (AMT) on function limits. In this study, developing denotes the observable emergence or reorganization of mathematical constructions during scaffolded activity, not a statistically measured learning gain. The bounded classroom case involved 24 mathematics education students at an Islamic university in Sumatra, Indonesia. The Group Embedded Figures Test classified 6 students as field-independent (FI) and 18 as field-dependent (FD); four information-rich cases, comprising 2 FI and 2 FD students, were selected for cross-case analysis. APOS-based scaffolding was implemented in four 135-minute Calculus I sessions and examined further through stimulated-recall interviews. Initial written solutions provided the primary evidence, post-prompt explanations and revisions documented students’ responses to Action-, Process-, Object-, and Schema-oriented support, and classroom observation records verified the enactment and gradual fading of the planned scaffolds. FI-1 constructed a complete Schema and required only fading prompts. FI-2 moved from correct but disconnected Objects toward an integrated Schema after a Schema-oriented prompt. FD-1 corrected an invalid limit value after Process-oriented prompts stabilized the transformation sequence. FD-2 moved from direct substitution and 0/0 toward guided algebraic Actions and an emerging Process after explicit Action-oriented cues. The findings indicate that cognitive style influenced task entry and the amount of external structure used, whereas APOS identified the construction that support needed to target. The observed shifts support a diagnostic account of AMT development while avoiding causal or long-term claims.

این مطالعه موردی کیفی به بررسی چگونگی تأثیر وابستگی-استقلال میدانی بر دسترسی دانشجویان به پشتیبانی مبتنی بر کنش-فرآیند-شیء-طرحواره (APOS) و نحوه مشارکت حمایت‌های مرحله‌محور در توسعه کیفی تفکر ریاضی پیشرفته (AMT) درباره حد تابع پرداخت. در این پژوهش، توسعه به معنای ظهور یا سازمان‌دهی مجدد قابل مشاهده ساخت‌های ریاضی در جریان فعالیت همراه با پشتیبانی است و نه افزایش یادگیری که به صورت آماری سنجیده شده باشد. مورد محدودشده کلاسی شامل ۲۴ دانشجوی آموزش ریاضی در یک دانشگاه اسلامی در سوماترا، اندونزی بود. آزمون Group Embedded Figures شش دانشجو را به عنوان مستقل از میدان (FI) و ۱۸ نفر را به عنوان وابسته به میدان (FD) طبقه‌بندی کرد؛ چهار مورد غنی از اطلاعات، شامل ۲ دانشجوی FI و ۲ دانشجوی FD برای تحلیل مقایسه‌ای انتخاب شدند. پشتیبانی مبتنی بر APOS در چهار جلسه ۱۳۵ دقیقه‌ای حسابان ۱ اجرا شد و از طریق مصاحبه‌های یادآوری تحریک‌شده بیشتر بررسی گردید. راه‌حل‌های کتبی اولیه شواهد اصلی را فراهم کردند، توضیحات و اصلاحات پس از ارائه محرک‌ها پاسخ دانشجویان به حمایت‌های مبتنی بر کنش، فرآیند، شیء و طرحواره را مستندسازی نمود و سوابق مشاهده کلاسی اجرای پشتیبانی‌های برنامه‌ریزی‌شده و محو تدریجی آن‌ها را تأیید کرد. FI-1 یک طرحواره کامل ساخت و تنها به محرک‌های محو شونده نیاز داشت. FI-2 پس از دریافت محرک مبتنی بر طرحواره، از اشیای صحیح اما جداگانه به سوی یک طرحواره یکپارچه حرکت کرد. FD-1 پس از دریافت محرک‌های مبتنی بر فرآیند که توالی تبدیل را تثبیت کردند، مقدار نادرست حد را اصلاح نمود. FD-2 از جایگذاری مستقیم و ۰/۰ به سوی کنش‌های جبری هدایت‌شده و ظهور یک فرآیند پس از دریافت نشانه‌های صریح مبتنی بر کنش حرکت کرد. یافته‌ها نشان می‌دهد که سبک شناختی بر ورود به تکلیف و میزان استفاده از ساختار بیرونی تأثیرگذار بود، در حالی که APOS ساختاری را که حمایت باید هدف قرار دهد، شناسایی کرد. تغییرات مشاهده‌شده از یک رویکرد تشخیصی به توسعه AMT حمایت می‌کند، بدون آنکه ادعای علی یا بلندمدت داشته باشد.