Counterexample

Proving is a fundamental skill that pre-service mathematics teachers are expected to develop and to support in their future students. This study aimed to examine the proving processes of pre-service middle school mathematics teachers. To this end, a total of 30 participants were selected through maximum variation sampling from among pre-service teachers who had just been admitted to a middle school mathematics teacher education program and pre-service mathematics teachers at all year levels of the program, with six participants from each level, and the data of this qualitative study were collected through clinical interviews. The data were collected in the context of the concepts of function and number. According to the results of the study, participants at the higher year levels generally showed greater success in constructing the formal-rhetorical part of a proof and in solving its problem-centered part, indicating a cross-year pattern rather than individual longitudinal change. It was also concluded that even when participants in the upper years possessed knowledge of proof methods, either their lack of sufficient conceptual knowledge to solve the problem-centered part or their deficiencies in the use of mathematical language hindered the proving process. Furthermore, it was observed that the participants were unable to use the full range of proof methods; whereas proof by counterexample showed the highest success in the proving process at every level, participants experienced difficulties in the direct proof and proof by contraposition processes. The findings suggest that the formal-rhetorical and problem-centered parts of proof should be addressed explicitly and systematically across all year levels of mathematics teacher education programs.

Background The emergence of Generative Artificial Intelligence (GenAI), particularly ChatGPT, offers new possibilities for mathematics learning in higher education. Although ChatGPT can provide explanations, examples, guiding questions, and feedback, its use in Abstract Algebra courses has largely been limited to answering questions and verifying mathematical answers or proofs. This study analyses pre-service mathematics teachers’ mathematical communication when interacting with ChatGPT through seven indicators, including: interpreting formal definitions; using mathematical terms, symbols, variables, and notation appropriately; constructing examples, non-examples, and counter-examples; explaining relationships between algebraic objects and their properties; justifying arguments or proofs; evaluating the validity of mathematical responses; and formulating coherent conclusions. Method A qualitative case study involved 18 pre-service mathematics teachers enrolled in an Abstract Algebra course in the department of mathematics education at a public university in Bandung City, West Java, Indonesia. Data comprised written dialogues between the pre-service mathematics teachers and ChatGPT while solving Abstract Algebra problems and were analysed using the seven indicators. Results The findings indicate that the pre-service mathematics teachers’ mathematical communication generally ranged from developing to adequate. They performed relatively well in using terminology and notation, constructing examples or counter-examples, and explaining relationships among algebraic objects and properties. However, justification, critical evaluation of ChatGPT responses, and independent conclusion-making remained weak. While some pre-service mathematics teachers accepted inaccurate AI responses, others identified and connected them. Conclusion The findings suggest that GenAI should serve as a dialogue partner and scaffolding, rather than an authority on mathematical truth. Mathematics course should emphasise verification, justification, critical evaluation, and argument reconstruction to foster independent mathematical communication skills.

زمینه و هدف: ظهور هوش مصنوعی مولد (GenAI)، به‌ویژه ChatGPT، امکانات جدیدی را برای یادگیری ریاضیات در آموزش عالی فراهم کرده است. اگرچه ChatGPT می‌تواند توضیحات، مثال‌ها، پرسش‌های راهنما و بازخورد ارائه دهد، اما استفاده از آن در درس جبر مجرد عمدتاً به پاسخ‌گویی به سؤالات و تأیید پاسخ‌ها یا اثبات‌های ریاضی محدود شده است. این پژوهش به تحلیل ارتباط ریاضی معلمان ریاضی پیش‌خدمت هنگام تعامل با ChatGPT بر اساس هفت شاخص می‌پردازد که عبارت‌اند از: تفسیر تعاریف رسمی؛ استفاده مناسب از اصطلاحات، نمادها، متغیرها و نشانه‌گذاری ریاضی؛ ساخت مثال، غیرمثال و مثال نقض؛ توضیح روابط بین اشیاء جبری و ویژگی‌های آن‌ها؛ توجیه استدلال‌ها یا اثبات‌ها؛ ارزیابی روایی پاسخ‌های ریاضی؛ و صورت‌بندی نتیجه‌گیری منسجم. روش: این مطالعه کیفی موردی با مشارکت ۱۸ معلم ریاضی پیش‌خدمت که در درس جبر مجرد در گروه آموزش ریاضی یکی از دانشگاه‌های دولتی شهر باندونگ، جاوه غربی، اندونزی ثبت‌نام کرده بودند، انجام شد. داده‌ها شامل مکالمات مکتوب بین معلمان ریاضی پیش‌خدمت و ChatGPT هنگام حل مسائل جبر مجرد بود که با استفاده از هفت شاخص تحلیل گردید. یافته‌ها: نتایج نشان داد که ارتباط ریاضی معلمان ریاضی پیش‌خدمت عموماً در بازه در حال توسعه تا قابل قبول قرار داشت. آن‌ها در استفاده از اصطلاحات و نشانه‌گذاری، ساخت مثال یا مثال نقض، و توضیح روابط بین اشیاء جبری و ویژگی‌ها عملکرد نسبتاً خوبی داشتند. با این حال، توجیه، ارزیابی انتقادی پاسخ‌های ChatGPT و نتیجه‌گیری مستقل همچنان ضعیف باقی ماند. در حالی که برخی معلمان ریاضی پیش‌خدمت پاسخ‌های نادرست هوش مصنوعی را پذیرفتند، برخی دیگر آن‌ها را شناسایی و به هم مرتبط کردند. نتیجه‌گیری: یافته‌ها نشان می‌دهد که GenAI باید به عنوان شریک گفت‌وگو و پشتیبان مورد استفاده قرار گیرد، نه مرجع حقیقت ریاضی. دروس ریاضی باید بر تأکید بر صحت‌سنجی، توجیه، ارزیابی انتقادی و بازسازی استدلال‌ها جهت پرورش مهارت‌های ارتباط ریاضی مستقل تمرکز کنند.

In mathematics, counterexamples play a central role in sharpening conjectures and refuting false statements. At the same time, there is an educational dimension, for example, when counterexamples are used to stimulate processes of conceptual change in secondary students. In practice, the answer to the question of whether a specific counterexample will succeed in convincing students of the incorrectness of a statement or the inadequacy of an idea will depend on a variety of factors. We collected criteria which can be used to compare counterexamples in educational settings through an analysis of existing literature, to which we added further, original criteria. In an empirical part, we investigated which criteria preservice teachers (PSTs) would use to compare counterexamples, and whether and how they could make use of criteria introduced by us. We found that across the PST discussions, all previously identified criteria prompted fruitful reflections upon counterexamples, and that comparing counterexamples in this way naturally led to in-depth discussions of the subject matter side of teaching decisions. PSTs discussed multiple criteria which we had not considered, seeming especially interested in context- and learner-dependent aspects of teaching. Thinking in terms of criteria showed potential as a theoretical lens, and for teacher training.

در ریاضیات، مثال‌های نقض نقش محوری در دقیق‌تر کردن حدسیات و رد گزاره‌های نادرست ایفا می‌کنند. همزمان، این موضوع بعد آموزشی نیز دارد؛ برای مثال، زمانی که از مثال‌های نقض برای تحریک فرایندهای تغییر مفهومی در دانش‌آموزان متوسطه استفاده می‌شود. در عمل، پاسخ به این پرسش که آیا یک مثال نقض خاص می‌تواند دانش‌آموزان را به نادرستی یک گزاره یا ناکافی بودن یک ایده قانع کند، به عوامل متعددی بستگی دارد. ما معیارهایی را که می‌توان برای مقایسه مثال‌های نقض در محیط‌های آموزشی به کار برد، از طریق تحلیل ادبیات موجود گردآوری کردیم و معیارهای اصیل دیگری نیز به آن افزودیم. در بخش تجربی، بررسی کردیم که معلمان پیش‌خدمت (PSTs) از چه معیارهایی برای مقایسه مثال‌های نقض استفاده می‌کنند و آیا و چگونه می‌توانند از معیارهای معرفی‌شده توسط ما بهره ببرند. دریافتیم که در سراسر بحث‌های PST، همه معیارهای شناسایی‌شده قبلی موجب تأملات ثمربخش درباره مثال‌های نقض شدند و مقایسه مثال‌های نقض به این شیوه، به طور طبیعی به بحث‌های عمیق درباره جنبه موضوعی تصمیمات آموزشی انجامید. PSTها معیارهای متعددی را که ما در نظر نگرفته بودیم، مورد بحث قرار دادند و به نظر می‌رسید به جنبه‌های وابسته به زمینه و یادگیرنده در آموزش علاقه ویژه‌ای دارند. اندیشیدن بر اساس معیارها، پتانسیل قابل توجهی به عنوان یک عدسی نظری و برای آموزش معلمان نشان داد.